Boolean algebra. algebra rökfræði. Þáttagreining stærðfræðilega rökfræði

Í heiminum í dag erum við í auknum mæli að nota margs konar vélum og græjur. Og ekki bara þegar það er nauðsynlegt að beita bókstaflega ofurmenni styrkur: færa álag að hækka það til hæð, grafa lengi og djúpt trench o.fl. Bílar dag safna vélmenni, maturinn er eldaður Multivarki -og útreikningar tölur framleiða reiknivélar ... Fleiri og fleiri oft heyrum setninguna "Boolean algebra". Kannski er kominn tími til að skilja hlutverk manna í sköpun vélmenni og vélar getu til að leysa ekki aðeins stærðfræði, heldur einnig rökrétt vandamál.

rökfræði

Í grísku rökfræði - skipað kerfi hugsun sem skapar tengsl milli gefnar aðstæður og leyfa þér að gera ályktanir byggðar á forsendum og áætlunum. Oft spyrjum við hvort annað: "Það er rökrétt að" Svarið staðfestir forsendur okkar eða gagnrýnir lest af hugsun. En ferlið er ekki hætta þar, við höldum áfram að tala.

Stundum er fjöldi skilyrða (inntak) svo mikill, og sambandið milli þeirra er svo ruglingslegt og flókið að mannsheilinn er ekki hægt að "melta" í einu. Þú gætir þurft fleiri en einn mánuð (viku, ár) til að skilja hvað er að gerast. En nútíma lífi er ekki að gefa okkur þessar tíma fresti til að taka ákvarðanir. Og við grípa til aðstoðar tölva. Og það er hér sem það er algebra og rökfræði, með lögum sínum og eiginleikum. Eftir að hlaða niður öllum upprunalegum gögnum, leyfum við tölvuna til að viðurkenna allar sambönd, til að koma í veg mótsagnir og að finna viðunandi lausn.

Stærðfræði og rökfræði

Famous Gotfrid Vilgelm Leybnits mótuð hugtakið "stærðfræðilega rökfræði", sem verkefni var auðvelt að skilja aðeins lítið hring fræðimanna. Sérstakan áhuga er átt ekki að valda, og að miðri XIX öld stærðfræðilega rökfræði þekktur af fáum.

Hinn mikli áhugi á vísindasamfélagsins hefur valdið ágreiningi sem Englendingurinn Dzhordzh Bul lýst ásetningi sínum að stofna útibú í stærðfræði, að hafa ekki engin hagnýt notkun. Eins og við vitum úr sögunni, á þessum tíma virkur þróa iðnaðarframleiðslu, við þróað allskonar tengd vélum, hafa t. E. Allar vísindalegar uppgötvanir höfðu hagnýt stefnumörkun.

Horft fram á veginn, segja við að Boolean algebra - mest notuð í heiminum í dag hluti af stærðfræði. Svo rök þín Buhl tapast.

Dzhordzh Bul

Persónuleika höfundar verðskuldar sérstaka athygli. Jafnvel í ljósi þess að í síðustu fólkið ólst upp fyrir framan okkur, enn það skal tekið fram að á 16 ára John. Buhl kennt í þorpinu skóla, og til 20 ára opnaði eigin skóla hans í Lincoln. Stærðfræðingur tökum fullkomlega fimm erlend tungumál, og í frítíma sínum, var að lesa verk Newton og Lagrange. Og allt þetta - á son venjuleg starfsmanns!

Árið 1839, Buhl sendi fyrstu ritgerða hans í Cambridge Mathematical Journal. Vísindamaður sneri 24 ára. verk Boole er svo áhuga meðlimir Royal Society, árið 1844 hann fékk orðu fyrir framlag sitt til þróunar á stærðfræðigreiningu. Nokkrar birtar greinar þar sem þættir stærðfræðilegri rökfræði, stærðfræði gerði ungur til að taka stöðu prófessors í College of Cork County var lýst. Muna að í mjög Boole menntun var ekki.

Hugmyndin

Í meginatriðum, Boolean algebra er mjög einfalt. Það eru yfirlýsingar (rökrétt tjáning) sem, frá sjónarhóli stærðfræði, er aðeins hægt að skilgreind í tveimur orðum: "true" eða "false". Til dæmis, tré í vor blóma - sannleikurinn í sumar og það snjóar - lygi. Fegurð stærðfræði er að það er ekki nauðsynlegt að nota aðeins tölur. Fyrir algebra dómar alveg passa allir yfirlýsingar með einstaka merkingu.

Þannig er algebra rökfræði er hægt að nota bókstaflega alls staðar: í tímasetningu og skrifa kennslu, greining misvísandi upplýsingar um atburði og ákvörðun á röð aðgerða. Það mikilvægasta - að átta sig á að það skiptir ekki máli hvernig við að ákvarða sannleikann eða ósannindum yfirlýsingar. Frá þessum "hvernig" og "hvers vegna" þú þarft að hunsa. Það sem skiptir máli er eingöngu yfirlýsing um staðreynd: sannleikurinn er lygi.

Að sjálfsögðu, forritun mikilvægustu aðgerðir algebru rökfræði sem eru skráð með viðeigandi merkjum og táknum. Og læra þá - það þýðir að læra nýtt erlent tungumál. Ekkert er ómögulegt.

Helstu hugtök og skilgreiningar

Án þess að fara inn í dýpt, takast á við með hugtök. Svo, Boolean algebra er gengið út:

• yfirlýsingar;
• rökrétt aðgerðir;
• virka og lögum.

Yfirlýsingar - vinna við jákvætt tjáning sem hægt er að túlka tveggja-gildi. Þau eru skrifuð sem tölur (5> 3) eða mótuð kunnuglegum orðum (fíl - stærsta spendýr). Í þessu tilviki, orðasambandið "háls gíraffa er ekki" hefur einnig rétt á að vera, bara Boolean algebra skilgreina það sem "lygi".

Allar yfirlýsingar ættu að vera ótvíræð, en þeir geta verið grunn eða efnasamband. Nýleg notkun rökrétt knippi. E. í algebruglugganum-Setningar ályktanir við beitingu það sem myndað var eftir með viðbót af grunn-rekstri rökfræði.

Rökaðgerðirnar algebra

Við muna þegar að starfsemi í algebru dóma - rökrétt. Rétt eins og algebru tölur með því að nota tölur aðgerðir til að bæta við, draga frá, eða bera tölur, leyfa stærðfræðilega rökfræði þætti til að gera flókna yfirlýsingar, að neita eða að reikna endanlega niðurstöðu.

Logic Rekstur formfesting og einfaldleika sem táknað er með formúlunni, þekki okkur í tölur. Eiginleikar Boolean algebra jöfnur gera það mögulegt að taka upp og reikna hið óþekkta. Rökrétt aðgerðir eru yfirleitt skráð í sannleikanum borðinu. þættir hennar skilgreina dálkana og tölvumál aðgerð sem er framkvæmd á þeim, og raðir sýna niðurstöðu útreikninga.

Undirstöðu rökfræði aðgerða

Algengasta í Boolean aðgerðir algebra eru afneitun (NOT), og rökrétt AND og OR. Svo það er hægt að lýsa nánast öllum skrefum í algebru dómum. Við rannsakað í smáatriðum hvern hinna þriggja aðgerða.

Neitunar (ekki) er beitt til að aðeins einn þáttur (þolanda). Því aðgerðin er kallað unary afneitun. Að taka upp hugtakið "ekki" með slíkum táknum: ¬A, A eða A !. Í töfluformi og það lítur svona út:

Hlutverk afneitun dæmigerð slík yfirlýsing: ef A er sönn, þá A - er falskur. Til dæmis, tunglið snýst í kringum jörðina - sannleikanum; Jörðin snýst um tunglið - lygi.

Rökfræðileg margföldun og auki

Rökrétt og rekstur er kallað samtenging. Hvað þýðir það? Í fyrsta lagi, að það er hægt að beita til tveggja þolendur, þ.e. I - .. Binary aðgerð. Í öðru lagi, það er aðeins að ræða um sannleika bæði þolendur (bæði A og B) er sönn og tjáningu sjálft. Spakmæli, "Þolinmæði og smá fyrirhöfn" gefur til kynna að aðeins tveir þættir geta hjálpað maður að takast á við erfiðleika.

tákn eru notuð til að taka upp: A∧B, A⋅B, eða A && B.

Samtenging er svipað margföldun í stærðfræði. Stundum og segja - rökrétt margföldun. Ef þú margfalda þætti raðir í töflunni, við fáum niðurstöðu svipað rökrétt hugsun.

Disjunction er rökrétt eða rekstur. Það er satt, ef að minnsta kosti eitt af þeim yfirlýsingum er satt (annaðhvort A eða B). Það er skrifað svona: A∨B, A + B eða A || B. sannleikurinn borð fyrir þessar aðgerðir eru:

Disjunction svipað tölur viðbót. rökrétt viðbót aðgerð hefur aðeins eitt takmörkun: 1 + 1 = 1. En við muna að í stafrænu formi er takmarkaður við stærðfræðilega rökfræði 0 og 1 (þar sem 1 - sannleikurinn, 0 - falskur). Til dæmis, í yfirlýsingu "í safninu er hægt að sjá meistaraverk eða finna góða fyrirtæki" merkir það sem þú getur séð listaverk, og það er hægt að mæta áhugaverð manneskja. Á sama tíma, ekki reglan ekki út möguleikann á samtímis uppfyllingu beggja atburða.

Aðgerðir og lögum

Svo við vitum nú þegar hvað rökrétt aðgerð með Boolean algebra. Aðgerðir lýsa öllum eiginleikum þætti stærðfræðilega rökfræði, og leyfa okkur að einfalda flókin samsett yfirlýsingar. Mest skýrt og einfalt virðist höfnun eign afleiður starfsemi. Með því að afleiður er skilið XOR vísbendingu og ja & gildi. Eins og við höfum lesið aðeins með helstu aðgerðir, og þá er eign einnig aðeins telja þá.

Associativity þýðir að á yfirlýsingar eins og "bæði A og B, og B 'röð skráningu þolendur skiptir ekki máli. Formúlan er skrifað eins og hér segir:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Eins og þú geta sjá, þetta er ekki einstakt að tengslum en a disjunction.

Commutativity heldur því fram að niðurstaðan af tengslum eða disjunction veltur ekki á hvaða atriði var talið í upphafi:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity gerir birta sviga í flóknum rökrétt tjáning. Reglur eru svipuð opnun sviga í margföldun og auki í algebru:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Unit eiginleika og grunni, sem getur verið einn af the þolendur er einnig svipuð og reikningsæfingarnar að margfalda hana með núll eða einn, og álagning eina einingu:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency segir okkur að ef tiltölulega tvo jafna þolendur afleiðing af rekstri er það sama, þú getur "kasta" umfram flækja rökhugsun þolendur. Og samtenging og disjunction aðgerðir eru idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Kaupin gerir okkur einnig að einfalda jöfnu. Frásog segir að þegar hugtakið er notað til einn þolanda, annar rekstur með sama frumefni af niðurstöðu þolanda er hrífandi aðgerð.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

röð aðgerða

Röð aðgerða er afar mikilvægt. Reyndar, eins og fyrir algebru, það er forgangsverkefni fall sem notar Boolean algebra. Formúlur er hægt að einfalda aðeins háð fyrir vægi aðgerða. Röðun mikilvægasti í hverfandi, fá við eftirfarandi röð:

1. Denial.

2. Samtenging.

3. The disjunction, XOR.

4. The vísbendingu er jafngildi.

Eins og þú geta sjá, aðeins neitun á tengslum og hafa ekki jafnan forgang. A forgang á disjunction og XOR eru jafnir, auk forgangsatriði vísbendingu og jafngildi.

Aðgerðir óbeint og jafngildi

Eins og við höfum sagt, til viðbótar við helstu rökrétt aðgerðir, stærðfræðilega rökfræði og kenningu um reiknirit nota afleiður. Það er oftast vísbendingu og jafngildi.

The vísbendingu eða rökrétt afleiðing - þessa yfirlýsingu, þar sem einn aðgerð er skilyrði, og hinn - afleiðing af framkvæmd hennar. Með öðrum orðum, þessi tillaga með því yfirskini að "ef ... þá". "Eftir matinn kemur að skuldadögum." E. Fyrir akstur að herða á sleðann hæðinni. Ef það er engin löngun til að fara niður af fjallinu, og þá draga sleðann er ekki nauðsynlegt. Er skrifað svo: A → B eða A⇒B.

Jafngildi felur í sér að hrein áhrif á sér stað aðeins þegar bæði þolendur eru sannar. Til dæmis, nótt gefur leið til dags þá (og aðeins þá), þegar sólin rís yfir sjóndeildarhringinn. Á tungumáli stærðfræðilega rökfræði þessa yfirlýsingu er skrifuð eins A≡B, A⇔B, A == B.

Öðrum lögum Boolean algebra

Algebra dómur þróar, og margir áhuga vísindamenn að móta ný lög. Frægasta teljast gengur út skosk stærðfræðingur O. De Morgan. Hann tók og gaf skilgreiningu slíkra eiginleika eins nálægt neitunar, auk þess og manna neikvæðar.

Close afneitun bendir til þess að áður en svigi er ekki að neita: ekki (A eða B) = ekki A eða B. NOT

Þegar þolanda er hafnað, án tillits til af verðmæti hennar, segja um viðbót:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Og að lokum, tvöfaldur neitun sjálft bætir. ie en annaðhvort þolanda afneitun hverfur eða er aðeins einn.

Hvernig á að leysa próf

Logic felur í sér einföldun fyrirfram ákveðið jöfnur. Rétt eins og í Lie algebra, það er nauðsynlegt til að hámarks auðvelda fyrsta skilyrði (til að losna við flóknar aðgerðir inntak, og með þeim), þá byrja að leita fyrir rétt svar.

Hvað á að gera til að einfalda? Umbreyta öllum afleiðum í einföldum rekstri. Þá afhjúpa alla sviga (eða öfugt, til að gera sviga til að draga úr þessum þáttur). Næsta skref ætti að vera að notað Boolean algebra eiginleika í reynd (frásogseiginleika núll og einn, og t.).

Á endanum, gildir þessi jafna ætti að samanstanda af að lágmarki fjölda óþekktum, ásamt einfaldar aðgerðir. Auðveldasta leiðin til að leita að lausn, ef þú gera a stór tala af svæðinu filmur. Þá svarið að skjóta upp eins og af sjálfu sér.