Afleiðan af hornhimnu hornsins er jöfn cosínunni í sama horninu

Í ljósi einföldustu trigonometry virka y = Sin (x) er það differentiable á hverju stigi þess frá öllu skilgreiningunni. Nauðsynlegt er að sanna að afleiðan af súrnum hvaða rök sem er, er jöfnuður cosínusins í sama horninu, það er, y '= Cos (x).

Sönnunin byggist á skilgreiningu á afleiðunni af aðgerðinni

Við skilgreinum x (handahófskennt) í sumum litlu hverfinu Δx af tilteknu punkti x0. Leyfðu okkur að sýna gildi virkninnar í því og á punktnum x til að finna hækkun tiltekinnar virkni. Ef Δx er stigið á rifrinu, þá er nýja rifið x ₀ + Δx = x, gildi þessarar aðgerðar fyrir tiltekið gildi rifunnar y (x) er Sin (x ₀ + Δx), gildi virkninnar á tilteknu punkti y (x ₀ ) .

Nú höfum við Δy = Synd (x ₀ + Δx) -Sin (x ₀ ) er hækkun hlutans sem fæst.

Með sinusformúlu summan af tveimur ójöfnum hornum munum við breyta mununni Δy.

(Cos) = cos (Δx) + Cos (x ₀ ) · Synd (Δx) mínus Synd (x ₀ ) = (Cos (Δx) -1) · Synd (x ₀ ) + Cos (x ₀ ) · Synd (Δx).

Framkvæmt permutation skilmálanna, flokkuð fyrst með þriðja Sin (x ₀ ), héldu sameiginlega margfaldara - sinus - fyrir sviga. Við fengum í tjáningu munurinn Cos (Δx) -1. Það er enn að breyta skilti fyrir framan krappinn og innan sviga. Vitandi hver er 1-Cos (Δx), við gerum skiptingu og fá einfalda tjáningu Δy, sem við skiptum síðan með Δx.
Δy / Δx hefur formið: Cos (x ₀ ) · Synd (Δx) / xx-2 · Sin ² (0,5 · Δx) · Synd (x ₀ ) / Δx. Þetta er hlutfallið af hækkun aðgerðarinnar að leyfilegri aukningu á röksemdafærslunni.

Það er ennþá að finna takmörk hlutfallslegra limsins sem er fæst fyrir Δx sem er í núlli.

Það er vitað að mörkin Sin (Δx) / Δx er jöfn 1, undir þessu ástandi. Tjáningin 2 · Sin ² (0,5 · Δx) / Δx í niðurstaðandi kvóti er minnkaður í vöruna sem inniheldur fyrstu merkilega mörkið sem margfaldara: Skipta tælanum og nefnara brotsins með 2, skiptu torginu af súrunni af vörunni. Hér svo:
(Synd (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Synd (Δx / 2).
Takmarkið fyrir þessa tjáningu fyrir Δx sem nær til núlls er jafnt og núll (1 margfaldað með 0). Það kemur í ljós að mörkin í hlutfallinu Δy / Δx er Cos (x ₀ ) · 1-0, þetta er Cos (x ₀ ), tjáning sem ekki fer eftir Δx sem nær 0. Þetta leiðir til þeirrar niðurstöðu að sinus afleiðan af hvaða horn x er Cosine x, við skrifum sem y '= Cos (x).

Formúlan sem kemur út er sett inn í þekkta töflu afleiða, þar sem öll grunnatriði virka

Þegar leysa er úr vandamálum þar sem afleiða sinus kemur fram er hægt að nota reglurnar um aðgreining og tilbúnar formúlur úr töflunni. Til dæmis: Finndu afleiðuna einföldustu virkni y = 3 · Sin (x) -15. Við notum grunnreglurnar um aðgreining, fjarlægingu tölulegra þátta á bak við merki afleiðunnar og útreikning á afleiðunni af föstu tali (það er núll). Við beitum gildinu afleiðu sinans hornsins x, jafnt Cos (x). Við fáum svarið: y '= 3 · Cos (x) -O. Þessi afleiðing er síðan einnig grunnvirkni y = 3 · Cos (x).

Afleiðan af súrunni er kvað frá hvaða rök sem er

Við útreikning þessa tjáningar (Sin ² (x)) 'er nauðsynlegt að muna hvernig flókin aðgerð er aðgreind. Svo, y = synd ² (x) - er aflvirkni, þar sem sinan er ferhyrndur. Rifrildi þess er einnig trigonometric virka, Complex rök. Niðurstaðan í þessu tilfelli er jafngild vörunni, sem er fyrsti þátturinn afleiðan af torginu af gefnu flóknu rifrildi, og seinni er afleiður sinnar. Þetta er hvernig reglan um aðgreina virka aðgerð útlit: (u (v (x))) 'er jöfn (u (v (x)))' (v (x)) '. Tjáningin v (x) er flókið rök (innri aðgerð). Ef aðgerðin "igrok er jöfn sinan í torginu x" er gefin, þá er afleiðan af þessari flóknu virkni y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). Í vörunni er fyrsta tvöfalda margfaldarinn afleiðan af þekktri virkni, og Cos (x) er afleiðan af súrunni, rökin fyrir flóknu fjögurra virkni. Endanleg niðurstaðan er hægt að umbreyta með því að nota þrígræðslufræðilega sinusformúluna í tvöföldum horninu. Svar: Afleiðurinn er Sin (2 · x). Þessi formúla er auðveldlega muna, það er oft notað sem töflu.