Ská jafnhliða trapezoid. Hvað er miðja lína í Trapisa. Tegundir trapezoids. Trapeze - það ..

Trapeze - sérstakt tilfelli af Quadrangle, þar sem eitt par af hliðum samsíða. Hugtakið "trapisa" er dregið af gríska orðinu τράπεζα, sem þýðir "borð", "borð". Í þessari grein munum við líta á gerðir trapeze og eiginleika þess. Einnig horfum við á hvernig á að reikna einstaka þætti rúmfræðilega myndinni. Til dæmis, á ská jafnhliða trapizzulagi, miðju línu, svæði og aðrir. Efnið er að finna í grunnskóla rúmfræði stílinn, t. E. Á aðgengilegan hátt.

Yfirlit

Í fyrsta lagi skulum skilja hvað er miðlægs. Þessi tala er sérstakt tilfelli af keilu sem hefur fjórar hliðar og fjögur hornpunkta. Tveir hornpunkta ferhyrningi, sem eru ekki samliggjandi, sem kallast gagnstæða. Hið sama má segja um tveimur sem ekki eru aðliggjandi hliðum. Helstu tegundir quadrangles - samsíðungur, rétthyrningur, tígull, ferningur, trapisa og upphandlegg.

Svo aftur til trapeze. Eins og við höfum sagt, þessi tala tvær hliðar eru samsíða. Þau eru kölluð basar. Hin tvö (ekki samsíða) - hliðum. Efni í hinum ýmsu próf og athuganir mjög oft er hægt að mæta áskorunum í tengslum við trapezoids sem lausn krefst oft þekkingu nemandans ekki falla undir áætlun. School Course rúmfræði kynnir nemendum með horn eiginleika og hornalínanna auk miðlínu jafnarma Trapisa. En annað en það sem um getur rúmfræðilegt form hefur aðra eiginleika. En um þá síðar ...

tegundir Trapeze

Það eru margar tegundir af þessari mynd. Hins vegar oftast tíðkast að íhuga tvo þeirra - jafnarma og rétthyrndum.

1. Rétthyrndur trapezoid - að tala þar sem einn af hliðum hornrétt á stöð. Hún hefur tvö horn eru alltaf jafn níutíu gráður.

2. þverskurður af jafnarma trapisulaga - flatarmynd þar sem hliðarnar eru jafnir. Svo og hornin á stöð eru einnig jöfn.

Helstu meginreglur aðferðir til að rannsaka eiginleika Trapisa

Grundvallarreglur fela í sér notkun svokallaðra verkefni nálgun. Í raun, það er engin þörf á að slá inn fræðilega rétta Rúmfræði nýrra eiginleika þessa mynd. Þeir geta verið opin eða í því ferli að móta ýmis verkefni (betur kerfi). Það er mjög mikilvægt að kennarinn veit hvaða verkefni sem þú þarft til að setja fyrir framan nemendur á hverjum tíma námsferli. Þar að auki, hver trapisa eign er hægt að túlka sem lykill verkefni í verkefni kerfinu.

Annað lögmál er svokölluð spíral skipulag rannsóknarinnar "merkilegt" Trapeze eiginleika. Þetta felur í sér afturhvarf til því ferli að læra til einstakra eiginleika rúmfræðihluta. Þannig nemendur auðveldara að muna þær. Til dæmis, í eigu fjögur stig. Það er hægt að sanna eins og í rannsókn á líkt og í kjölfarið með vektor. A Equal þríhyrningar sem liggur að þeirri hliðum myndinni, það er hægt að sanna með því að nota ekki aðeins á eiginleika þríhyrninga við sömu hæð framkvæmdar eru til að hliðum sem liggja á beinni línu, en einnig með því að nota formúluna S = 1/2 (ab * sinα). Jafnframt er hægt að vinna úr lögmál Sines til ritaðar trapizzulagi eða hægri-horn þríhyrningi og Trapisa lýst er í t. D.

Notkun "félagsstörfum" lögun til flatarmynd í efni skólann auðvitað - að verkefni tækni kennslu þeirra. Constant tilvísun til að rannsaka eiginleika yfirferð hitt gerir nemendum kleift að læra Trapeze dýpra og tryggir árangur af verkefni. Svo höldum við að rannsókn á þessu merkilega mynd.

Elements og eiginleika vegna þess a andsamsíðungur

Eins og við höfum bent á, í þessu rúmfræðihluta aðilar eru jafnir. En það er þekkt sem hægri Trapisa. Og hvað er það svo merkilegt og hvers vegna fékk nafn sitt? Sérstaða lögun af þessari mynd frá því að hún hefur ekki aðeins sömu hliðar og horn á stöð, en einnig á ská. Þar að auki, summan af hornanna frá því að andsamsíðungur er jafn 360 gráður. En það er ekki allt! Aðeins um jafnarma má lýsa með hring af öllum þekktum trapezoids. Þetta er vegna þess að summan af gagnstæðum sjónarhornum á þessari mynd er 180 gráður, og aðeins undir þessu ástandi er hægt að lýsa sem hring í kringum Quadrangle. Eftirfarandi eiginleikar rúmfræðihluta er að fjarlægðin frá the toppur af the undirstaða til vörpun af odda á línunni sem inniheldur þessi stöð mun vera jafn miðlínuna.

Nú skulum líta á hvernig á að finna horn jafnarma Trapisa. Íhuga að lausn á þessu vandamáli, að því tilskildu að stærð aðila þekktur mynd.

ákvörðun

Það er venja að tákna ferhyrningurinn stafina A, B, C, D, þar sem BS og BP - grunn. Í andsamsíðungur hliðar eru jafnir. Við gerum ráð fyrir að stærð þeirra er jafn X og Y mál eru bösum og Z (minni og meiri, í sömu röð). Fyrir útreikning á horninu á nauðsyn þess að eyða í hæð H. Niðurstaðan er rétthyrndur þríhyrningur ABN þar AB - langhliðar og BN og AN - fætur. Að reikna út stærð fótur an: draga frá stærri stöð lágmarks, og niðurstaðan er deilt með 2. Skrifaðu formúlunni: (ZY) / 2 = F. Nú, til að reikna út krappt hom þríhymingsins með notkun hlutarins cos. Við afla eftirfarandi færslu: cos (β) = X / F. Nú reikna út horn: β = Arcos (X / F). Ennfremur vita eitt hornið, getum við að ákvarða og annað, til að gera þetta grunn stærðfræði aðgerð: 180 - p. Allar horn eru skilgreind.

Það er líka annað lausn á þessu vandamáli. Í upphafi er sleppt úr horninu á hæð fæti N. reiknar verðmæti BN. Við vitum að veldi langhliðar á réttum þríhyrningi er jafnt summu ferninga hinna beggja. Við fáum: BN = √ (X2 F2). Næst notum við hornaföll virka TG. Niðurstaðan er: β = arctg (BN / F). The bráð horn er að finna. Næst skilgreinum við að sjáanlegir horn eins og í fyrstu aðferð.

Eign hornalínanna af jafnarma Trapisa

Fyrst, við að skrifa fjórar reglur. Ef ská inn í jafnarma Trapisa er hornrétt, þá:

- er hæðin á myndinni er jöfn summu á bösum, deilt með tveimur;

- hæð þess og miðja línu eru jafnir;

- svæði af the trapezoid er jöfn veldi af hæð (miðlínu Út í helming basar að lengd);

- í öðru veldi ská á torginu jafngildir helmingi summu tvöföldum Square og basar eða miðlínuna (hæð).

Nú líta á formúluna skilgreinir ská jafnhliða Trapisa. Þessi stykki af upplýsingar má skipta í fjóra hluta:

1. Formula ská lengdarinnar, í gegnum hlið hennar.

Við gerum ráð fyrir að A er - lægra, grunn B - Top, c - jöfnum hliðum, D - ská. Í þessu tilviki, lengd er hægt að ákvarða með eftirfarandi hætti:

D = √ (C 2 + A * B).

2. Samsetning fyrir ská lengd kósínus.

Við gerum ráð fyrir, að A er - lægra, undirstaða B - Top, C - að jöfnum hliðum, D - ská, a (á neðrí basa), og í er P (efri basi) - Trapisa horn. Við afla eftirfarandi formúlu, sem hægt er að reikna út lengd ská:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).

3. Formula ská lengd þess a andsamsíðungur.

Við gerum ráð fyrir, að A er - lægra stöð, B - efri, D - ská, M - miðju línu H - hæð, P - svæði af the trapezoid, a og β - hornið á milli hornalínum. Ákvarða lengd eftirfarandi formúlum:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H 2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Fyrir þessu tilviki jafnrétti: sinα = sinβ.

4. Formula ská lengdarinnar, í gegnum á hliðum og hæð.

Við gerum ráð fyrir, að A er - lægra, undirstaða B - Top, C - hliðum, D - ská, H - hæð, α - horn með neðri stöð.

Ákvarða lengd eftirfarandi formúlum:

- D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Þættir og eiginleikar rétthyrndum trapizzulagi

Við skulum líta á það sem hefur áhuga á þessum rúmfræðilega mynd. Eins og við höfum sagt, við höfum rétthyrnd Trapisa tveimur rétt horn.

Að auki klassíska skilgreiningu, það eru aðrir. Til dæmis, rétthyrnd trapezoid - a trapezoid þar sem einn megin er hornrétt á stöð. Eða móta hafa á hlið sjónarhornum. Í þessari tegund af trapezoids hæð er hlið sem er hornrétt á bækistöðvar. Miðju línu - strik sem tengir miðpunkta beggja. Eign nefndrar einingar er að það er samsíða bækistöðvar og jafnt helmingur summu þeirra.

Nú skulum íhuga helstu formúlur sem skilgreina geometrísk form. Til að gera þetta, við gerum ráð fyrir að A og B - stöð; C (hornrétt á basa), og D - hliðum rétthyrnda trapizzulagi, M - miðju línu, díklór-a - þröngu, P - svæði.

1. The hlið hornrétt á bösunum, aldrei langt undan jöfn hæð (C = N), og er jafnar lengd annars hlið Hann og sínus af hom a í meiri basa (C = a * sinα). Þar að auki, það er jafn afurðinni úr snertils á hlutfallinu milli bráðra f a horn og mismunur á bösunum: C = (A-b) * tgα.

2. hlið D (ekki hornrétt við stöð) sem svarar til þess quotient af mismuninum milli A og B og kósínus (a) eða þröngu til einka Hæðartölur fyrir H og sine krappt hom eru: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. Hlið þess sem er hornrétt á bösunum, er jafn kvaðratrót af veldi af mismuninum D - seinni hlið - og ferningur stöð munur:

C = √ (Q2 (A-B) 2).

4. Side A rétthyrnd trapezoid er jafn kvaðratrót femingslögun summan af a veldi hliðinni og C bösum rúmmyndarinnar munur: D = √ (C2-+ (A-B) 2).

5. Hlið C er jafnt hlutfall milli torginu tvöfalda summan af undirstöðum hennar: C = P / M = 2P / (A + B).

6. Svæðið skilgreint af vörunni M (miðlínu rétthyrnda Trapisa) í hæð eða hliðstæða stefnu hornrétt á bösunum: P = M * N = M * C.

7. Position C er hlutatalan tvöföldum veldi móta vegna þeirrar vöru sem algjört þröngu og summan af undirstöðum hennar: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Formúla hlið af rétthyrndum trapizzulagi gegnum ská þeirra annars vegar og horni á milli sín:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

þar sem D1 og D2 - hornalína Trapisa; α og β - hornið á milli þeirra.

9. Formula hlið í gegnum undir horni á neðri stöð og öðrum: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Þar sem trapisa með hornrétt er sérstaklega tilfelli af Trapisa, aðrar formúlur sem ákvarða þessar tölur, hittast og rétthyrnd.

Properties Innritaður hringur

Ef ástand er sagt að í rétthyrndum trapezoid inscribed hring, þá er hægt að nota eftirfarandi eiginleika:

- magn the undirstaða er summan af hliðum;

- fjarlægð frá the toppur af the rétthyrning til stig af tangency við ritaðar hring er alltaf jafn;

- hæð Trapisa er jöfn til hliðar, hornrétt á bösunum, og er jafn við þvermál hringsins ;

- hringur miðstöð er að benda á sem skerast Helmingalínur horn ;

- ef hlið hlið af snertipunkti er skipt í lengdir sem n og m, þá radíus hringsins er jöfn kvaðratrót af afurðinni úr þessum hlutum;

- Quadrangle myndast við tengiliði, efst á Trapisa og miðstöð ritaðar hring - það er ferningur, sem hlið er jöfn radíus;

- svæði á myndinni er afrakstur af ástæðu og afrakstur af hálfri summu undirstöðum á hæð.

Líkur Trapeze

Þetta atriði er mjög gagnlegt fyrir rannsóknir á eiginleikum flatarmyndum. Til dæmis, á ská þeim skipt upp í fjóra þríhyrninga trapezoid, og eru aðliggjandi til the undirstaða af þess háttar, og til hliðar - jafnir. Þessi yfirlýsing er hægt að kalla eign þríhyrninga, sem er brotinn Trapeze skálínum hennar. Fyrsti hluti þessa yfirlýsingu er sannað með merki um líkt af tveimur hornum. Til að sanna seinni hluti er betra að nota aðferðina sem er tilgreind hér að neðan.

The sönnun

Samþykkja að reikna ABSD (AD og BC - grundvelli Trapisa) er brotinn skálínum HP og AC. Skurðpunkt - O. Við fáum fjóra þríhyrninga: AOC - á neðri stöð, BOS - efri stöð, Abo og SOD á hliðum. Þríhyrningar SOD og biofeedback hafa sameiginlegt hæð í því tilfelli, ef sem hlutar BO og OD eru undirstöður þeirra. Við finnum að munurinn á sínum svæðum (P) sem svarar til mismunar á þessum hlutum: PBOS / PSOD = BO / ML = K. leiðandi, PSOD = PBOS / K. Á sama hátt, þríhyrningar AOB og biofeedback hafa sameiginlegan hæð. Tekið fyrir stöð hluti þeirra SB og OA. Við fá PBOS / PAOB = CO / OA = K og PAOB = PBOS / K. Af þessu leiðir að PSOD = PAOB.

Til að styrkja efni eru nemendur hvattir til að finna tengsl á milli svæða þríhyrninga fæst, sem er brotinn Trapeze skálínum þess, að ákveða næsta verkefni. Það er vitað að þríhyrningarnir BOS og ADP svæði eru jafnir, það er nauðsynlegt að finna flatarmál Trapisa. Þar sem PSOD = PAOB, þá PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD. Af líkindum þríhyrninga BOS og ANM Af þessu leiðir að BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Þar af leiðandi, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Fá PSOD = √ (* PBOS PAOD). Þá PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

eiginleikar líkt

Halda áfram að þróa þetta þema, það er hægt að sanna, og aðrar áhugaverðar lögun af trapezoids. Svo, með hjálp líkt getur sannað eign hluti, sem liggur í gegnum punktinn sem myndast við mótum hornalínum rúmfræðihluta, samsíða jörðu. Fyrir þetta við að leysa eftirfarandi vandamál: það er nauðsynlegt til að finna lengd RK hluti sem fer í gegnum punktinn O. Frá líkt þríhyrninga ADP og SPU fylgir því að AO / OS = AD / BS. Frá líkt þríhyrninga ADP og ASB segir að AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). Þetta felur í sér að BS * PO = AD / (AD + BC). Á sama hátt, af líkindum þríhyrninga MLC og ABD og hér segir það í lagi * BP = BS / (BP + bs). Þetta felur í sér að OC og RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Segment liggur í gegnum skurðpunkt hornalínanna samsíða stöð og tengja tvær hliðar, skurðpunkt er skipt í tvennt. Lengd hennar - er harmonic meðaltal ástæðu tölum.

Lítum á eftirfarandi einkenni Trapisa, sem heitir eign fjögur stig. skurðpunkturinn hornalínanna (D) er sniðmengi framhald af hliðum (E) sem og miðjan bösum (T og G) liggja alltaf á sömu línu. Það er auðvelt að sanna líkt aðferð. Sú þríhyrningar eru svipuð BES og AED, og í hvert með talið að meðaltali ET og Dly ber að deila i topphorn E í jöfnum hlutum. Þess vegna, og punkturinn E, T og F eru collinear. Á sama hátt, á sömu línu er komið fyrir með tilliti til T, O, og G. Þetta leiðir af líkindum þríhyrninga BOS og ANM. Þar sem við ályktum að öll fjögur hugtök - E, T, O og F - mun liggja á beinni línu.

Using svipaðar trapezoids, er hægt að bjóða nemendum að finna lengd hluta (LF), sem skiptir á myndinni í tvennt eins. Þetta skera skal vera samsíða bösunum. Þar að mótteknu Trapisa ALFD LBSF og svipað, BS / LF = LF / AD. Þetta felur í sér að LF = √ (BS * BP). Við ályktum að hluti sem skiptir í tvo trapizzulagi eins, hefur lengd jöfn margfeldismeðaltal af lengdir bækistöðvar reikna.

Skoðið eftirfarandi líkt eign. Það er byggt á hluti sem skiptir Trapisa í tvo jafna bita stærð. Samþykkja að Trapeze ABSD hluti skiptist í tvo svipað EH. Frá toppi B lækkað hæð þess hluta er skipt í tvo hluta en - B1 og B2. Fá PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Frekari setja saman kerfi, þar sem fyrsta jöfnu (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 og annar (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Af þessu leiðir að B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) og BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Við komumst að því að lengd um að deila Trapisa á tveimur jafn eða meiri, jafn meðaltali langs eftir öllum annars stigs grundvallaratriði: √ ((CN2 + aq2) / 2).

líkt niðurstöður

Þannig höfum við sannað að:

1. The hluti sem tengir á miðjuna á Trapisa á hliðlægra hliðum, samsíða BP og BS og BS er meðaltal og BP (basi Lengd á Trapisa).

2. Sem bar sem liggur í gegnum punktinn O frá skurðpunkti hornalínanna samhliða AD og BC verður jöfn Umhverfumeðaltalið tölur BP og BS (2 x BS * AD / (AD + BC)).

3. The hluti að brjóta í svipuðum Trapisa hefur lengdar Margfeldismeðaltalsþéttni bösum BS og BP.

4. þáttur sem skiptir lögun í tvo jafna stærð, lengd meina ferningur tölur BP og BS.

Til að styrkja efni og vitund tengsl milli hluta nemandans er nauðsynlegt að byggja þá fyrir tiltekna Trapisa. Hann getur auðveldlega birta meðaltal línu og hluti sem fer í gegnum punktinn - að gatnamótum hornalínanna af tölum - samsíða jörðu. En þar verður þriðja og fjórða? Þetta svar mun leiða nemandann til the uppgötvun af óþekktum tengslin milli meðalgildum.

Segment ganga miðpunkta hornalínanna í Trapisa

Lítið á eftirfarandi eign á myndinni. Við tökum að hluti MN er samsíða bækistöðvar og skipta í tvennt á ská. skurðpunkt er kallað W og S. Þessi hluti mun vera jafn helming mismunarins ástæðu. Við skulum skoða þetta nánar. MSH - meðaltal lína í þríhyrningnum ABS, það er jafn BS / 2. Minigap - the miðja lína í þríhyrningnum DBA, það er jafn AD / 2. Þá finnum við að SHSCH = minigap-MSH því SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

þyngdarpunktur

Við skulum líta á hvernig á að skilgreina þáttur fyrir tiltekið rúmfræðilega mynd. Til að gera þetta, verður þú að lengja stöð í gagnstæðar áttir. Hvað þýðir það? Það er nauðsynlegt að bæta við stöð á efri botn - einhverju aðila, til dæmis, til hægri. Lægra lengja lengd efri vinstri. Næst, tengja ská þeirra. Skurðpunkt þessa hluti með miðlínu myndinni er þungamiðja trapisunar.

Inscribed og lýst Trapeze

Listi skulum lögun svo tölur:

1. Line má inscribed í hring ef það er jafnarma.

2. í kringum hring getur verið lýst eins og a Trapisa, að því tilskildu að summan af langs eftir botni þeirra er summa langs eftir öllum hliðum.

Afleiðingar ritaðar hring:

1. Hæð Trapisa lýst alltaf jafnt tvöfaldri radíus.

2. Hlið Trapisa lýst er, er horft er frá miðju hringsins hornrétt.

Fyrsti Afleiðingin er augljós, og til að sanna annað þarf að koma að halla SOD er bein, sem er í raun heldur ekki auðvelt. En þekking á hótelinu er hægt að nota rétt þríhyrning til að leysa vandamál.

Nú erum við að skilgreina afleiðingar fyrir andsamsíðungur, sem er settur í hring. Við fá að hæð er Margfeldismeðaltalsþéttni Mynd basar: H = 2R = √ (BS x BP). Uppfylla undirstöðu aðferð til að leysa vandamál fyrir trapezoids (meginreglan um tveimur hæðum), þarf nemandi að leysa eftirfarandi verkefni. Samþykkja að BT - hæð jafnarma tölur ABSD. Þú þarft að finna nær á AT og AP. Beita formúlunni sem lýst er hér að ofan, það verður að gera er ekki erfitt.

Nú skulum við útskýra hvernig á að ákvarða radíus hringsins frá svæði sem lýst Trapisa. Sleppt úr efstu B hæð á stöð BP. Þar sem hring, skulu skráðar í Trapisa, BS + 2ab = BP eða AB = (BS + BP) / 2. Frá þríhyrningnum ABN leitarreit sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Fá PABSD = (BP + BS) * R, leiðir það að R = PABSD / (AD + BC).

.

Allar formúlur miðlínuna Trapeze

Nú er kominn tími til að fara í síðasta lið þessarar rúmfræðihluta. Við munum skilja, hvað er miðja lína af Trapisa (M):

1. Með bösunum: M = (A + B) / 2.

2. Eftir hæðarinnar, grunn-og hornum:

• M-H = a * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Með hæð og ská horn þar á milli. Til dæmis, D1 og D2 - ská trapisunar; α, β - hornið á milli þeirra:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. Innan svæðisins og Height: M = R / N.