The óákveðinn óaðskiljanlegur. Útreikningur á ótakmarkaðan heildi

Eitt af grundvallar hlutum stærðfræðigreiningu er óaðskiljanlegur stærðfræðigreiningu. Það nær yfir mjög breitt svið af hlutum, þar sem fyrst - það er óákveðinn óaðskiljanlegur. Staða stendur það sem lykilatriði sem er enn í menntaskóla ljós vaxandi fjölda fólks og tækifærum, sem lýsir hærri stærðfræði.

útlit

Við fyrstu sýn virðist algerlega ómissandi nútíma, staðbundið, en í raun það kemur í ljós að hann kom aftur í 1800 BC. Heim til opinberlega talin Egyptaland í ekki ná okkur fyrr vísbendingar um tilveru hennar. Það vegna skorts á upplýsingum, allt á meðan stakk einfaldlega sem fyrirbæri. Hann staðfestir enn og aftur hversu vísindalegum þróun þjóða þeim tímum. Loks verk fundust forngríska stærðfræðingar, stefnumótum frá 4. öld f.Kr.. Þeir lýsa aðferð sem notuð er þar sem óákveðinn óaðskiljanlegur, kjarna sem var að finna rúmmál eða svæði í curvilinear lögun (þrívítt og tvívíð flugvél, í þessari röð). Útreikningurinn byggist á meginreglunni um skiptingu upprunalegu myndinni í infinitesimal hluti, að því tilskildu að rúmmál (svæði) er þegar vitað að þeim. Með tímanum, the aðferð hefur vaxið, Arkímedes notaði það til að finna flatarmál fleygboga. Svipaðar útreikningar á sama tíma til að sinna æfingum í Kína til forna, þar sem þeir voru algjörlega óháð grísku náungi vísindi.

þróun

Í næsta bylting í XI öld f.Kr. hefur orðið að vinna í Arab fræðimaður "vagn" Abu Ali al-Basri, sem ýtt mörkum þegar þekkt, voru fengnar úr órofa formúlu til að reikna út fjárhæðir fjárhæðir og gráður frá fyrsta til fjórða, sækir um þetta sem vitað er að okkur framkalla aðferð.
Hugum dag eru dáðist af forn Egyptar búin mögnuðu minnisvarða án sérstakra tækja, nema fyrir það að eigin hendur, en er ekki að máttur vitlaus vísindamenn á þeim tíma ekki síður kraftaverk? Í samanburði við núverandi tímum lífs þeirra virðist nánast frumstæð, en ákvörðun um óákveðinn heildum ráða alls staðar og notað í reynd fyrir frekari þróun.

Næsta skref átti sér stað á XVI öld, þegar ítalska stærðfræðingur Cavalieri kom óaðskiljanlegu aðferð, sem sóttir Per ferma. Þessir tveir persónuleika lagði grunninn að nútíma órofa stærðfræðigreiningu, sem er þekktur í augnablikinu. Þeir batt hugtökin aðgreining og samþættingu, sem áður voru talin sjálf-gámur einingar. By og stór, stærðfræði frá þeim tíma var brotakennd agnir niðurstöður eru í sjálfu sér, með takmarkaða notkun. Leið til að sameina og finna sameiginlegan grundvöll væri hin eina sanna í augnablikinu, þökk sé honum, nútíma Stærðfræðigreining haft tækifæri til að vaxa og þroskast.

Með tímanum breytist allt og óaðskiljanlegur tákn eins og heilbrigður. By og stór, var það tilnefnt vísindamenn sem á sinn hátt, til dæmis, Newton notaði ferningur helgimynd, sem binda integrable virka, eða einfaldlega setja saman. Þessi mismunur stóð fram í XVII öld, þegar þáttaskil fyrir alla kenningu Stærðfræðigreining vísindamaður Gotfrid Leybnits kynnt slíka persónu kunnugleg okkur. Lengja "S" er í raun byggt á þessu bréfi rómverska stafrófsins, þar táknar summu frumform. The nafn af the óaðskiljanlegur fæst þökk Jakob Bernoulli, eftir 15 ár.

Formleg skilgreining

Óákveðinn óaðskiljanlegur veltur á skilgreiningu frumstæð, svo við teljum það í fyrsta sæti.

Antiderivative - er neikvætt fall af afleiðu, í raun það er kallað frumstæð. Annars: frumstæð virka af D - er fall D, sem er afleiðan V <=> V '= v. Leita frumstæðar er að reikna óákveðinn óaðskiljanlegur, og ferlið sjálft er kallað aðlögun.

dæmi:

Sem S (y) = y ^3, og frumstæðar S þess (y) = (Y ^4/4).

Mengi allra frumform af the virka - þetta er óákveðinn óaðskiljanlegur, táknað það sem hér segir: ∫v (x) DX.

Með skírskotun til þess að V (x) - eru aðeins sumir frumstæð við upphaflegu hlutverki, tjáning gildir: ∫v (x) DX = V (x) + C, þar sem C - fasti. Undir handahófskennda föstu er átt við hverja sem er stöðug, þar sem afleiður þess tll þess er núll.

eiginleikar

Eiginleikar býr yfir vegna óákveðinn óaðskiljanlegur, fyrst og fremst byggð á skilgreiningu og eiginleika afleiðum.
Íhuga helstu atriði:

• óaðskiljanlegur afleiða er frumstæð er frumstæð sjálft, auk ákjósanlegrar handahófskennt fasti C <=> ∫V '(x) DX = V (x) + C;
• afleiða í órofa af a hæfingar er við upphaflegu hlutverki <=> (∫v (x) DX) "= v (x);
• fasti er tekið út úr undir óaðskiljanlegur tákn <=> ∫kv (x) DX = k∫v (x) DX, þar sem k - er handahófskennt;
• óaðskiljanlegur, sem er tekið úr samtala samur jöfn summu heildum <=> ∫ (v (y) + W (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Síðustu tveir eiginleikar má draga þá ályktun að óákveðinn óaðskiljanlegur er línuleg. Vegna þessa, höfum við: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Að sjá dæmi um ákveða lausnir óákveðinn þéttni.

Þú verður að finna óaðskiljanlegur ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Frá dæmis getum við draga þá ályktun að þú veist ekki hvernig á að leysa óákveðinn heildi? Bara finna allar frumform! En leita að meginreglum rædd hér.

Aðferðir og dæmi

Í því skyni að leysa óaðskiljanlegur, getur þú grípa til eftirfarandi aðferðum:

• tilbúinn til að taka kostur af the borð,
• samþætta með því að hluta;
• samþætt með því að skipta á breytu;
• því upp undir merki mismunadrifi.

töflur

The einfaldur og skemmtilegt leið. Á því augnabliki, stærðfræði greiningu geta státað alveg víðtæka töflum, sem skrifuð út grunn uppskrift af ótiltekinna heildum. Með öðrum orðum, það eru sniðmát afleidd upp að þér og þú getur aðeins nýta þá. Hér er listi yfir helstu stöðum borð, sem hægt er að sýna nánast öllum tilfellum, hefur lausn:

• ∫0dy = C, þar sem C - stöðugur;
• ∫dy = y + C, þar sem C - stöðugur;
• ∫y ⁿ dy = (Y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, þar sem C - fasti, og n - sem er frábrugðin sé einingar;
• ∫ (1 / y) dy = ln | Y | + C, þar sem C - stöðugur;
• ^{∫e Y dy = e y + C} , þar sem C - stöðugur;
• ^{∫k Y dy = (k Y /} LN k) + C, þar sem C - stöðugur;
• ∫cosydy = siny + C, þar sem C - stöðugur;
• ∫sinydy = -cosy + C, þar sem C - stöðugur;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, þar sem C - stöðugur;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, þar sem C - stöðugur;
• ∫dy / (1 + Y ²⁾ = arctgy + C, þar sem C - stöðugur;
• ∫chydy = feiminn + C, þar sem C - stöðugur;
• ∫shydy = Chy + C, þar sem C - fasti.

Ef nauðsyn krefur, gera nokkur skref leiða integrand til tabular augum og njóta sigur. DÆMI: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 5/1 x sin (5x - 2) + C.

Samkvæmt ákvörðun er ljóst að til dæmis borð integrand skortir margfaldað 5. Við bæta því í samhliða þessari margfalda með 1/5 til almennrar tjáningu breyttist ekki.

Hlutheildun

Skoðum tvær aðgerðir - Z (Y) og X (y). Þeir verða að vera stöðugt deildanlegt á ríki sínu. Í einni aðgreining eignir við höfum: D (XZ) = xdz + zdx. Sameining beggja, fáum við: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Endurskrifa leiðir jöfnuna fáum við formúluna, sem lýsir aðferð við að hlutheildun: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Hvers vegna er það nauðsynlegt? Sú staðreynd að sum dæmin það er hægt að einfalda, við skulum segja, að draga úr ∫zdx ∫xdz, ef hann er nálægt töfluformi. Einnig, þetta uppskrift er hægt að nota meira en einu sinni, fyrir sem mestan árangur.

Hvernig á að leysa óákveðinn heildum þessa leið:

• nauðsynlegt að reikna út ∫ (s + 1) e ^2s DS

∫ (x + ^{1) e 2S DS = {Z =} s + 1, DZ = dS, Y = 1 ^{/ 2e 2S, dy = e 2x} DS} = ((s + 1) e ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2S) / 2-e ^2S / 4 + C;

• að reikna ∫lnsds

∫lnsds = {Z = LNS, DZ = dS / s, y = S, dy = dS} = slns - ∫s x DS / S = slns - ∫ds = slns -S + C = S (LNS-1) * C.

Í stað breytu

Þessi meginregla um að leysa óákveðinn heildi eru ekki minni eftirspurn en fyrri tvö, þó flókið. Aðferðin er sem hér segir: Let V (x) - stofnfall Sumar Aðgerðir V (x). Komi það í sjálfu sér óaðskiljanlegur í dæmi slozhnosochinenny kemur, er líklegt til að fá rugla og fara niður á röngum slóð lausnir. Til að koma í veg fyrir þetta starf breytingar frá árinu Breytan x eru Z, þar sem: almennt hugtak sjónrænt einfaldað en viðhalda z eftir því x.

Stærðfræðilega má orða þetta er sem hér segir: ∫v (x) DX = ∫v (Y (z)) + y '+ (z) dz = V (z) = V (Y -1 (x)), þar sem x = y ( z) - skiptihvarf. Og, auðvitað, sem neikvætt fall z = y ^-1 (x) að fullu lýsir sambandið og tengsl á breytum. Mikilvægt - vaxtamunurinn dx endilega skipta með nýja mismunadrif DZ, þar sem breyting á breytu í óákveðinn óaðskiljanlegur felur skipta um það alls staðar, ekki bara í integrand.

dæmi:

• verður að finna ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) DS

Beita skiptinguna Z = (s + 1) / (s ² + 2S-5). Þá DZ = 2sds = 2 + 2 (s + 1) DS <=> (s + 1) DS = DZ / 2. Þess vegna eftirfarandi tjáningu, sem er mjög auðvelt að reikna:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) DS = ∫ (DZ / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2S-5 | + C;

• þú verður að finna stofnfall ∫2 ^s E ^s dx

Til að leysa umrita í eftirfarandi form:

^{∫2 S e s DS = ∫ (} 2e) s DS.

Við tákna með = 2e (skipta um rök þetta skref er ekki, það er samt s), gefum virðist flókið óaðskiljanlegur grunn töfluformi okkar:

^{∫ (2e) s DS = ∫a} s DS = a s / LNA + C = (2e) s / LN (2e) + C = 2 ^S e ^s / LN (2 + LNE) + c = 2 ^S e ^s / (LN2 + 1) + C.

Toppur upp mismunadrif merki

By og stór, þessi aðferð við ótakmarkaðan heildum - tvíburi bróðir meginreglunni um breytingu á breytu, en það eru munur á ferli skráningar. Lítum nánar.

Ef ∫v (x) DX = V (x) + C og y = z (x), þá ∫v (y) dy = V (y) + C.

Á sama tíma og við megum ekki gleyma því að vera léttvæg óaðskiljanlegur umbreytingu, þar á meðal:

• dx = d (x + a), og þar sem - hver stöðugur;
• dx = (1 / a) d (ax + b), þar sem a - fasti aftur, en ekki núll;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -D (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ef við lítum á almennu máli þar sem við er reiknað út óákveðinn óaðskiljanlegur má nefna sem dæmi er hægt að einnig undir almennu formúlunni w '(x) DX = DW (x).

dæmi:

• verður að finna ∫ (2S + 3) ² DS, DS = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2S + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2S + 3) ² D (2S + 3) = (1/2) x ((2S + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2S + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.

hjálp á netinu

Í sumum tilvikum, að kenna sem geta orðið eða leti, eða brýn þörf, er hægt að nota á netinu leiðbeiningunum, eða öllu heldur, að nota reiknivél óákveðinn heildi. Þrátt fyrir augljós flókið og umdeilt eðli heildum, ákvörðunin er háð tilteknum reiknirit þeirra, sem byggist á þeirri grundvallarreglu að "ef þú ert ekki ... þá ...".

Að sjálfsögðu sérlega flókinn dæmi um slíka reiknivél mun ekki læra, þar sem það eru tilfelli þar sem ákvörðun þarf að finna tilbúnar "þvinguð" með því að innleiða ákveðna þætti í ferlinu, því niðurstöðurnar eru augljós leiðir til að ná. Þrátt fyrir umdeilda eðli þessa yfirlýsingu, það er satt, eins og stærðfræði, í raun, ágrip vísindi, og helsta markmið hennar telur nauðsyn að styrkja landamæri. Reyndar, fyrir slétt hlaupa í kenningum er mjög erfitt að fara upp og þróast, svo ekki gera ráð fyrir að þau dæmi sem leysa óákveðinn heildi, sem gaf okkur - þetta er hæð tækifærum. En aftur að tæknilega hlið af hlutur. Að minnsta kosti að athuga útreikninga, er hægt að nota þjónustuna sem það var skrifað okkur. Ef það er þörf fyrir sjálfvirka útreikninga á flóknum tjáning, þá þurfa þeir ekki að grípa til alvarlegri hugbúnaði. Ætti að borga eftirtekt fyrst og fremst á umhverfið Matlab.

umsókn

Ákvörðun óákveðinn heildum við fyrstu sýn virðist algjörlega aðskilinn frá raunveruleikanum, því það er erfitt að sjá hið augljósa notkun flugvél. Reyndar beint að nota þau hvar sem þú getur ekki, en þeir eru nauðsynlegur millihluturinn í því ferli afturköllun lausnir notaðar í reynd. Þannig samþættingu bak aðgreining, þannig virkan þátt í því ferli að leysa jöfnur.
Aftur á móti hafa þessar jöfnur bein áhrif á ákvörðun vélbúnaðar vandamál, braut útreikning og varmaleiðni - í stuttu máli, allt sem er lögð til staðar og móta framtíðina. Ótímabundinn óaðskiljanlegur, dæmi sem við höfum rætt hér að ofan, bara léttvæg við fyrstu sýn, sem grunn að framkvæma fleiri og fleiri nýjar uppgötvanir.