The Russell Paradox: bakgrunnur, dæmi, orðalag

Russell þversögn er tveggja innbyrðis rökrétt antinomy.

Tvær tegundir af Paradox Russell

Algengasta rætt form og mótsögn í rökfræði setur. Sumir af the setja virðist vera meðlimir sjálfir, og aðrir - nr. Mengi allra setur sjálf er sett, þannig að það virðist sem það vísar til sjálfs sín. Null eða tóm, þó ætti ekki að vera a félagi af sjálfu sér. Því mengi allra setur, eins og núll er ekki innifalinn í sjálfu sér. The þversögn vaknar þegar spurningin um hvort mengi meðlimur sjálfu sér. Þetta er mögulegt ef og aðeins ef það er ekki.

Önnur mynd þversögn er mótsögn varðandi eignir. Sumir eiginleikar, virðist til að kalla sig, á meðan aðrir eru það ekki. Eign vera eign sjálft er eign, en eign vera það köttur er ekki. Íhuga eign hafa eignir sem ekki tilheyra honum. ef það á við sig? Aftur, eitthvað af forsendum ætti að vera öfugt. The þversögn hét til heiðurs Bertrand Russell (1872-1970), sem uppgötvaði hana árið 1901.

saga

Opnun Russell kom á vinnu sína á "Principles stærðfræði". Þótt hann uppgötvaði þversögn sjálfstætt, það er sönnun þess að aðrir stærðfræðingar og verktaki af mengjafræði, þar á meðal Ernst Zermelo og David Hilbert, voru meðvitaðir um fyrstu útgáfu af mótsögnum undan honum. Russell var hins vegar fyrsta sem fjallað ítarlega um þverstæðu í birtum verkum sínum, fyrst reynt að móta lausnir og fyrsti að fullu þakka þýðingu þess. A heild kafla "Principles" var varið til umfjöllunar um þetta mál, og forritið var varið til kenningar um gerðir, sem Russell fyrirhugaða sem lausn.

Russell uppgötvaði "þversögn í lygari ', miðað Cantor er mengjafræði sem segir að kraftur hvaða mengi er minni en mengi undirhópum hennar. Að minnsta kosti í ríki ætti að vera eins og margir hlutar sem það eru þættir í því, ef einn hluti af hvers frumefnis er sett sem inniheldur aðeins þessi þáttur. Ennfremur, Cantor sannað að fjöldi þættir geta ekki vera jafn fjölda undirhópum. Ef það væri sami fjöldi, það þyrfti að vera ƒ lögun sem myndi sýna þætti á undirhópum þeirra. Á sama tíma er hægt að sanna að þetta er ómögulegt. Sumir hlutir geta birst á undirhópum fallinu ƒ sem innihalda þau, á meðan aðrir geta það ekki.

Lítið á hlutmengi af þáttum sem ekki heyrir myndum sínum, þar sem þeir sýna ƒ. Það er sjálft hluti af þáttum, og því, ƒ virka myndi sýna það á frumefni í léninu. Vandamálið er að þá vaknar spurningin hvort þessi þáttur tilheyrir undirhópi sem hann birtir ƒ. Þetta er aðeins hægt ef það tilheyrir ekki. þversögn Russells má sem dæmi um sömu línu rökhugsun, aðeins einfölduð. Hvað er meira - sem sett eða hlutmengi setja? Það virðist sem það ætti að vera fleiri setur, eins og öllum undirhópum barna setur sjálfum. En ef setningin Cantor er satt, þá ætti að vera meira hlutar. Russell litið einfaldlega birta setur á sig og beita kantoriansky nálgun miðað mengi allra þessara þátta, utan mengi þar sem þeir eru birt. Sýni Russell verður mengi allra setur, a non.

villa Frege

"The þversögn á lygari" hafði djúpstæð áhrif á sögulega þróun kenningar um setur. Hann sýndi að hugtakið alhliða setja er mjög erfið. Hann spurði einnig sú hugmynd að fyrir hverja skilgreinda ástand eða eiginleikann getum tekið tilvist margbreytileika aðeins þá hluti sem uppfylla þetta skilyrði. Valkostur þversögn varðandi eiginleika - eðlilegt framhald til the útgáfa setur - vakti alvarlegar efasemdir um að það er hægt að halda því fram um hlutlæga tilvist eigna eða alhliða samræmi við hverja ræðst af ástandi, eða eiginleikann.

Fljótlega mótsagnir og vandamál í starfi rökfræðingar fundust, heimspekingar og stærðfræðingar, sem hafa gert svipaða forsendur. Árið 1902, Russell komist að afbrigði þversögn hægt að gefa upp í rökrétt kerfi, þróað í I. bindi af "undirstöðum tölur" Gottlob Frege, einn af helstu verkum á rökfræði seint XIX - snemma XX öld. Í heimspeki Freges mörgum skilja sem "framlengingu" eða "gildi-svið" hugtak. Hugtökin eru næst þeim sem tengir. Búist er við að vera fyrir hverjum ástand eða eiginleikann. Þannig að það er hugtak af mengi, sem ekki falla undir afmarkar hugtak. Það er líka flokkur skilgreint þetta hugtak, og það er háð því að skilgreina hugtak aðeins ef það er ekki.

Russell skrifaði Frege um þetta átök í júní 1902 Correspondence hefur orðið eitt af mest spennandi og talað um í sögu rökfræðinnar. Frege viðurkennt strax hörmulegu afleiðingar þversögn. Hann benti hins vegar á að útgáfa af deilum um þær eignir í heimspeki hans var leyst með því að greina á milli hugmynda um stigum.

hugmynd Frege er skilið sem umskipti frá rökum að virka til TRUE. Hugtökin fyrsta stigi tekur sem rök hluti af öðru stigi hugtökum taka sem rök að þessar aðgerðir, og svo framvegis. Þannig hefur hugmyndin getur aldrei tekið sig sem rök, og þversögn hvað varðar eiginleika geta ekki verið mótuð. Engu að síður setur, stækkun eða hugtök Frege skilið sem vísa til sömu rökrétt gerð og að öllum öðrum hlutum. Þá fyrir hvert sett er spurning hvort það fellur undir hugtakið skilgreina það.

Þegar Frege, Russell fékk fyrsta bréf, annað bindi "undirstöðum tölur" er þegar lokið prenta. Hann neyddist til að fljótt undirbúa umsókn sem gefur svar við þversögn Russells. Examples Frege innihélt tala um hugsanlegar lausnir. En hann komst að þeirri niðurstöðu að veikja hugtakið abstrakt sett í rökrétt kerfi.

Í upprunalega, það var hægt að álykta að mótmæla í menginu ef og aðeins ef það fellur undir hugtakið, skilgreinir það. Endurskoðuð Kerfið getur aðeins gert að mótmæla í menginu ef og aðeins ef það fellur undir hugtakið fjöld, en ekki sett í efa. þversögn Russells myndast.

Lausnin er hins vegar ekki alveg sáttur við Frege. Og þetta var ástæðan. Nokkrum árum síðar, flóknari form mótsögn hefur fundist í endurskoðaðri kerfi. En jafnvel áður en þetta gerðist, Frege yfirgefin ákvarðanir hans og virðast komast að þeirri niðurstöðu að nálgun hans var einfaldlega óframkvæmanlegt, og að rökfræði verður að gera án þess að einhverju setur.

Enn aðrir hafa verið lagðar, tiltölulega meiri árangri aðrar lausnir. Þetta eru rædd hér á eftir.

Kenningin um tegundir

Það var tekið fram hér að framan að Frege var fullnægjandi svar við andstæður í mengjafræði í útgáfu mótuð fyrir eignir. Viðbrögð Frege smáa var á undan með oftast rætt lausn á þessa mynd af þversögn. Það er byggt á þeirri staðreynd að eignir séu undir mismunandi gerðir og hvaða tegund af eign er aldrei það sama og þeim atriðum sem hún vísar til.

Svona, ekki einu sinni spurning vaknar, hvort sem fasteignin er við að sjálfu sér. Rökrétt tungumál, sem aðskilur þætti svona stigveldi, með því að nota kenningar um gerðum. Þótt það sé nú þegar notaður af Frege, í fyrsta skipti og það er alveg skýrð og rökstudd Russell í viðauka við "lögmál". Kenningin um gerðir var lokið en greinarmun Frege stigum. Hún deildi eignir eru ekki aðeins mismunandi gerðir af rökfræði, en einnig sett. tegund kenningu að leysa mótsögn í þversögn Russell segir.

Til þess að vera heimspekilegt fullnægjandi, samþykkt kenningar um gerðir eigna krefst þróun kenningar um eðli eignanna svo sem gæti útskýrt hvers vegna þeir geta ekki að beita sér. Við fyrstu sýn, gerir það vit í að eignað eigin eign þeirra. Eign að vera sjálf-sjálfsmynd, það virðist, það er einnig sjálf-sjálfsmynd. Eign virðist vera ágætur skemmtilegt. Á sama hátt, greinilega, það virðist rangt að segja að eign að vera köttur er köttur.

Engu að síður, ýmsir hugsuðir réttlætanlegt skiptingu mismunandi gerðum. Russell gaf jafnvel mismunandi skýringar á mismunandi tímum á ferli sínum. Fyrir sitt leyti, forsendurnar fyrir aðskilnaði mismunandi hugmyndir um Frege stigum kemur frá kenningu hans ómettuðum hugtök. Hugtök eins og virka í raun, eru ófullnægjandi. Að veita gildi, þurfa þeir rifrildi. Þú getur ekki bara eitt hugtak að eignað hugtakið sömu tegund, því það þarf samt rök hennar. Til dæmis, en það er hægt að taka kvaðratrót af kvaðratrót af fjölda, þú getur ekki bara notað kvaðratrótarinnar aðgerð við kvaðratrótina virka og fá niðurstöðu.

Um varfærni eignir

Önnur möguleg lausn er þverstæðan eiginleika negation eiginleikar tilvist undir neinum gefin skilyrði, eða vel mynduð eiginleikann. Auðvitað, ef einhver eschews frumspekilegur eiginleika bæði hlutlæg og óháð þáttum í heild, ef við tökum nominalism þversögn má forðast algjörlega.

Hins vegar, til að leysa antinomy þarf ekki að vera svo öfgafullt. Rökfræði æðra kerfi þróað Frege og Russell, innihalda það sem er kallað huglæg meginreglu, en samkvæmt þeim hver opna formúlur án tillits til þess hversu flóknar staðar sem hluti af eignum eða hugtak til dæmis, aðeins þau atriði sem passa við formúluna. Þeir beita eiginleikum alla mögulega setja skilyrði eða predicates, sama hversu flókin þau voru.

Engu að síður, það var hægt að taka strangari frumspeki eiginleika, sem gefur rétt að markmiði tilvist einföldum eiginleika, þar á meðal, til dæmis, eins og rauður litur, stinnari, góðvild og svo framvegis. D. Þú getur jafnvel láta þessar eignir um sig, eins og góðvild getur vera góður.

Og sama staða á flóknum eiginleika getur verið hafnað, til dæmis, svo "Properties" og hafa sautján höfuð, að skrifað undir vatn og þess háttar. D. Í þessu tilfelli, engin fyrirfram skilyrði uppfyllir ekki eign, skilið og sérstaklega núverandi þáttur, sem hefur eigin eiginleika sína. Þannig er hægt að afneita tilvist einföldum eiginleikum vera-eign-sem-ekki-beitt til sjálf og forðast mótsagnir með því að beita meira íhaldssamt frumspekilegur eiginleika.

þversögn Russells: lausnin

Hér að framan kom fram að við lok lífs síns Frege yfirgefin alveg rökfræði setur. Þetta, auðvitað, ein lausn til antinomy í formi setur: a einfaldur afneitun á tilvist slíkra þátta í heild. Að auki eru aðrar vinsælar ákvarðanir, grunnatriði sem eru sýnd hér fyrir neðan.

Kenningin fyrir margar tegundir af

Eins og fyrr segir Russell spilað fyrir fleiri heill kenningu gerðum, sem myndi ekki aðeins deila þeim eiginleika eða hugmyndir að mismunandi gerðum, en einnig sett. Russell sameiginlegum sett á margbreytileika aðskildar einingar, er fjöld setur aðskildum hlutum, osfrv The setur af hlutum voru ekki talin, og fjölda setur - .. Leikmynd. A einhver fjöldi af aldrei notið tegund, leyfir þú sem meðlimur sjálfu sér. Þess vegna er það ekki sett á öllum setur sem ekki eru aðilar að eiga, því að allir setja af spurningum um hvort það er eins og a félagi, sjálf er brot tegund. Aftur, málið hér er að útskýra frumspeki setur að útskýra heimspekilegar undirstöður skiptingu í gerðir.

lagskipting

Árið 1937 V. V. Kuayn hefur boðið upp á aðra lausn, á svipaðan hátt við kenningar gerðum. Grunnupplýsingar um það eru.

Aðskilnaður þátturinn setur og aðrir. Made þannig að forsendan um að finna fjölda ávallt er röng eða tilgangslaust. Setur getur aðeins verið veitt þegar skilgreina skilyrði þeirra eru ekki brot tegund. Þannig að Quine, þá hugtakið "x er ekki meðlimur af x" er þroskandi yfirlýsing felur ekki í sér tilvist mengi allra þátta x fullnægt þessu skilyrði.

Í þessu kerfi sett er til fyrir sumir opna formúlu A ef og aðeins ef það er lagskipt, t. E. Ef breyturnar eru notaðir í jákvæðar heiltölur þannig að fyrir hvern einkennandi myndunar mótefna gegn fjölda af á undan henni breytu er úthlutað verkefni einingar sem eru minni en breytunni, eftirfarandi eftir honum. þversögn Þetta hindrar Russells, þar sem formúla notuð til að ákvarða Heimadæmi, það er sama fyrir og eftir breytilegum aðild skiltagerð það unstratified.

En það hefur enn að ákveða hvort leiðir kerfið, sem Quine heitir "Ný undirstöðum stærðfræðilega rökfræði" í samræmi.

höfnun

Algjörlega mismunandi nálgun er tekin í kenningu um Zermelo - Fraenkel (ZF). Hér líka, setja takmörk á tilvist setur. Þess í stað nálgast "ofan" af Russell og Frege, sem upphaflega hélt að fyrir alla hugtök, eiginleika eða einkenni geta benda á tilvist mengi allra hluta með þessari eign eða til að uppfylla þannig ástand í ZF-kenningunni, allt byrjar "frá grunni".

Einstakir þættir tómamenginu og mynda hóp. Því ólíkt fyrri kerfum og Russell Frege FIT ekki tilheyra alhliða setja sem innheldur alla þætti og jafnvel alla setur. ZF setur strangar takmarkanir á tilvist setur. Kann að vera aðeins þeir sem það er greinilega út frá eða sem hægt er að mótuð með endurtekningu ferli og þess háttar. D.

Þá, í stað þess hugtak abstrakt barnaleg sett sem segir að tiltekin þáttur er innifalinn í pakkanum ef og aðeins ef það uppfyllir skilyrði um aðskilnað meginreglu sem notuð DF, aðskilnaður eða "flokka". Í stað þess að miðað tilvist mengi allra þátta sem eru án undantekninga fullnægja ákveðna ástand, fyrir hvern núverandi hóp Aussonderung bendir tilvist hlutmengi af öllum þáttum í upprunalegu sett sem uppfylla skilyrði.

Þá kemur abstrakt reglan: Ef sett A til staðar, þá fyrir öll x í A, x tilheyrir hlutmengi A, sem uppfylla skilyrði ef og aðeins ef x uppfyllir skilyrði C. Þessi aðferð ályktar The þversögn Russell, þar sem við getum ekki einfaldlega ráð það er mengi allra setur sem ekki eru aðilar að sjálfu sér.

Having a einhver fjöldi af setur, getur þú valið eða skipta því í setur, sem eru í sjálfu sér, og þeir sem eru ekki eins, en þar er engin alhliða sett við erum ekki bundin mengi allra setur. Án miðað við vandamál setur Russell mótsögn er ekki hægt að sanna.

aðrar lausnir

Að auki hafa verið síðari framlengingar eða breytingar á þessum lausnum, svo sem punga gerð kenningu "meginreglur stærðfræði" kerfi stækkun "stærðfræðilega rökfræði" Quine, auk fleiri nýleg þróun í kenningu um setur, gerði Bernays, Gödel og von Neumann. Spurningin um hvort að viðbrögð við óleysanleg þversögn Bertrand Russell finna, er enn spurning um umræðu.